APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LA-PLACE
DEFLEXION DE
VIGAS
I.
Realidad problemática- En la actualidad hablar de equipos y mecanismos que están involucrados en una operación minera es muy diverso, por eso en este trabajo hare mención de uno de estos mecanismos (estación de baterías) usados en minería subterránea y que realiza su actividad extractiva con locomotoras a batería.
Formulación del problema
- Para determinar las características de una estructura metálica a usarse en una estación de baterías, o en cualquier trabajo que esté sometido a esfuerzos se debe primero hacer cálculos matemáticos, para comprobar que la estructura metálica cumpla con los estándares y parámetros establecidos por las normas. En este caso específico usare transformadas de Laplace par demostrarlo.
Hipotesis
- Cuando un sólido está sujeto por uno de sus extremos, y por el otro está sometido a una fuerza P que actúa perpendicularmente a su eje se dice que está sometido a un esfuerzo de flexión. Quedando comprobado mediante cálculos matemáticos de ecuación diferencial y transformadas de Laplace
Introducción:
- Las aplicaciones de la transformada d Laplace son muy amplias, por lo que a continuación se pretende dar a conocer una aplicación para resolver problemas de deflexión de vigas, ya que la mayoría de los problemas para encontrar deflexiones en vigas se buscan en las ecuaciones diferenciales de las curvas de deflexión y sus relacione asociadas, por tal motivo, estos problemas pueden ser resueltos mediante la adecuada aplicación de los diferentes teoremas y definiciones de la transformada de Laplace.
OBJETIVOS
- OBJETIVO GENERAL
- Aplicar los diferentes teoremas y definiciones de la transformada de Laplace para resolver problemas de vigas simplemente apoyadas.
- OBJETIVOS ESPECIFICOS:
- Encontrar la ecuación de deflexión para una viga simplemente apoyada.
- Calcular la deflexión máxima alcanzada por una viga simplemente apoyada
DESARROLLO DEL PROBLEMA
- Usando transformadas de Laplace cálcale la deflexión máxima de una viga de acero con una longitud de 4mtr. Dicha viga trabajara con un monorriel y soportará una carga máxima total de 500kg. Sabiendo también que: I=210000MPa, E=2,64*10-6
Calculo de reacciones en los apoyos
Aplicando las ecuaciones de equilibrio correspondiente tenemos:
MODELANDO LA ECUACIÓN DE MOMENTO:
Realizando un corte antes del apoyo B y haciendo sumatoria de momentos
respecto al corte, tenemos:
DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE DEFlEXION:
Ecuación
diferencial básica de una viga:
Ecuación de
momento de una viga simplemente apoyada:
Condiciones iniciales:
tomando en cuenta que la deflexión en los apoyos
es cero, tenemos:
Haciendo uso
de la ecuación diferencial para la deflexión de una viga y
Sustituyendo en el modelo de la ecuación para el
momento:
Aplicando
transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación
Aplicando la ecuación diferencial de la
transformada de una derivada nos queda
Sustituyendo y (0) = C y y(0) = 0
Aplicando la
transformada inversa de Laplace: (PROPIEDAD PRODUCTO CONSTANTE)
Aplicando y(L)=0
Despejando C:
Sustituyendo C en y(x)
F= M*g entonces tenemos: F = 500 kg x 9.81 m/s2 = 4905 N
Por lo tanto,
encontramos la ecuación de deflexión de una viga simplemente apoyada.
La deflexión
máxima ocurre en L/2, sabiendo que:
Entonces obtenemos:
1.13mm
GLOSARIO
Momento de Inercia:
es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.
Módulo de elasticidad:
es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material.
Fuerza: Capacidad física para realizar un trabajo o un movimiento.
Longitud: Dimensión de una línea o de un cuerpo considerando su extensión en línea recta.
Momento de una fuerza: a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del
vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza,
en ese orden.
Reacción o fuerza normal: se define como la fuerza que ejerce una superficie sobre un
cuerpo apoyado sobre
ella. Esta es
de
igual magnitud y dirección, pero de sentido contrario a la fuerza
ejercida por el cuerpo sobre la superficie.
CONCLUSIONES
La deflexión
máxima se produce en el centro de la viga.
La transformada de Laplace nos
permite encontrar la ecuación de la deflexión.
L = 4 m