APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LA-PLACE

DEFLEXION DE VIGAS

      I.

Realidad problemática

• En la actualidad hablar de equipos y mecanismos que están involucrados en una operación  minera es muy diverso, por eso en este trabajo hare mención de uno de estos mecanismos (estación de baterías) usados en minería subterránea y que realiza su actividad extractiva con locomotoras a batería.

Formulación del problema

• Para determinar las características  de una estructura  metálica a usarse en  una estación de baterías, o en cualquier trabajo que esté sometido a esfuerzos se debe primero hacer  cálculos matemáticos,  para comprobar que la estructura metálica  cumpla con los estándares y parámetros establecidos por las normas. En este caso específico usare transformadas de  Laplace par demostrarlo.

Hipotesis

• Cuando un sólido está sujeto por uno de sus extremos, y por el otro está sometido a una fuerza P que actúa perpendicularmente a su eje se dice que está sometido a un esfuerzo de flexión. Quedando comprobado  mediante cálculos matemáticos de ecuación diferencial y transformadas de Laplace 

Introducción:

• Las aplicaciones de la transformada d Laplace son muy amplias, por lo que a continuación se pretende dar a conocer una aplicación para resolver problemas de deflexión de vigas, ya que la mayoría de los problemas para encontrar deflexiones en vigas se buscan en las ecuaciones diferenciales de las curvas de deflexión y sus relacione asociadas, por tal motivo, estos problemas pueden ser resueltos mediante la adecuada aplicación de los diferentes teoremas y definiciones de la transformada de Laplace.

OBJETIVOS

• OBJETIVO GENERAL

• Aplicar los diferentes teoremas y definiciones de la transformada de Laplace para resolver problemas de vigas simplemente apoyadas.
•  OBJETIVOS ESPECIFICOS:
• Encontrar la ecuación de deflexión para una viga simplemente apoyada.
• Calcular la deflexión máxima alcanzada por una viga simplemente apoyada

DESARROLLO DEL PROBLEMA

•  
  Usando transformadas de Laplace cálcale  la deflexión máxima de una viga de acero  con una longitud de 4mtr. Dicha viga  trabajara con un monorriel y soportará  una carga máxima  total  de 500kg.  Sabiendo también que: I=210000MPa, E=2,64*10-6

Simbologia

Calculo de reacciones en  los apoyos

Aplicando las ecuaciones de equilibrio correspondiente tenemos:

MODELANDO LA ECUACIÓN DE MOMENTO:

Realizando un corte antes del apoyo B y haciendo sumatoria de momentos respecto al corte, tenemos:

DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE DEFlEXION:

     Ecuación diferencial básica de una viga:

  Ecuación de momento de una viga simplemente apoyada:

   Condiciones iniciales: tomando en cuenta que la deflexión en los apoyos

es cero, tenemos:

   Haciendo uso de la ecuación diferencial para la deflexión de una viga y

Sustituyendo en el modelo de la ecuación para el momento:

Aplicando transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación

       Aplicando la ecuación diferencial de la transformada de una derivada nos queda

Sustituyendo  y (0) = C y y(0) = 0

Aplicando la transformada inversa de Laplace: (PROPIEDAD PRODUCTO CONSTANTE)

Aplicando  y(L)=0

Despejando C:

Sustituyendo C en y(x)

     F= M*g entonces tenemos: F = 500 kg x 9.81 m/s2 = 4905 N

Por lo tanto, encontramos la ecuación de deflexión de una viga simplemente apoyada.

La deflexión máxima ocurre en L/2, sabiendo que:

      

 Entonces obtenemos:

       1.13mm

GLOSARIO

Momento de Inercia: es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.

Módulo de elasticidad: es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material.

Fuerza: Capacidad física para realizar un trabajo o un movimiento.

Longitud: Dimensión de una línea o de un cuerpo considerando su extensión en línea recta.

Momento de una fuerza: a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza, en ese orden.

Reacción o fuerza normal: se define como la fuerza que ejerce una superficie sobre un cuerpo apoyado sobre ella. Esta es de igual magnitud y dirección, pero de sentido contrario a la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la superficie.

CONCLUSIONES

La deflexión máxima se produce en el centro de la viga.

La transformada de Laplace nos permite encontrar la ecuación de la deflexión.

  L = 4 m